题目描述

你这个学期必须选修 numCourse 门课程，记为 0 到 numCourse-1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们：[0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，请你判断是否可能完成所有课程的学习？

示例1:

1
2
3

输入: 2, [[1,0]] 
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。所以这是可能的。

示例 2:

1
2
3

输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。

提示：

输入的先决条件是由边缘列表表示的图形，而不是邻接矩阵。详情请参见图的表示法。
你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
1 <= numCourses <= 10^5

题解

解题思路：

本题可约化为： 课程安排图是否是 有向无环图(DAG)。即课程间规定了前置条件，但不能构成任何环路，否则课程前置条件将不成立。
思路是通过 拓扑排序 判断此课程安排图是否是 有向无环图(DAG) .拓扑排序原理：对 DAG 的顶点进行排序，使得对每一条有向边 (u, v)，均有 u（在排序记录中）比 v 先出现。亦可理解为对某点 v而言，只有当 v的所有源点均出现了，v才能出现。
通过课程前置条件列表 prerequisites 可以得到课程安排图的 邻接表 adjacency，以降低算法时间复杂度，以下两种方法都会用到邻接表。

入度表BFS

统计课程安排图中每个节点的入度，生成入度表 indegrees。
借助一个队列 queue，将所有入度为 0 的节点入队。
当 queue 非空时，依次将队首节点出队，在课程安排图中删除此节点 pre：
1. 并不是真正从邻接表中删除此节点 pre，而是将此节点对应所有邻接节点 cur 的入度 -1，即 indegrees[cur] -= 1。
2. 当入度 -1后邻接节点 cur 的入度为 0，说明 cur 所有的前驱节点已经被 “删除”，此时将 cur 入队。
在每次 pre 出队时，执行 numCourses–；
- 若整个课程安排图是有向无环图（即可以安排），则所有节点一定都入队并出队过，即完成拓扑排序。换个角度说，若课程安排图中存在环，一定有节点的入度始终不为 0。
- 因此，拓扑排序出队次数等于课程个数，返回 numCourses == 0 判断课程是否可以成功安排。

public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
    int[] indegrees = new int[numCourses];
    List<List<Integer>> adjcency = new ArrayList<>();
    Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();

    for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
        adjcency.add(new ArrayList<>());
    }

    for (int[] cp : prerequisites) {
        indegrees[cp[0]]++;
        adjcency.get(cp[1]).add(cp[0]);
    }

    for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
        if (indegrees[i] == 0)
            queue.add(i);
    }

    while (!queue.isEmpty()) {
        int pre = queue.poll();
        numCourses--;
        for (int cur : adjcency.get(pre)) {
            if (--indegrees[cur] == 0)
                queue.add(cur);
        }
    }

    return numCourses == 0;
}

DFS

算法流程：

借助一个标志列表 flags，用于判断每个节点 i （课程）的状态：
1. 未被 DFS 访问：i == 0；
2. 已被其他节点启动的 DFS 访问：i == -1；
3. 已被当前节点启动的 DFS 访问：i == 1。
对 numCourses 个节点依次执行 DFS，判断每个节点起步 DFS 是否存在环，若存在环直接返回 False。DFS 流程；
1. 终止条件：
  - 当 flag[i] == -1，说明当前访问节点已被其他节点启动的 DFS 访问，无需再重复搜索，直接返回 True
  - 当 flag[i] == 1，说明在本轮 DFS 搜索中节点 i 被第 22 次访问，即 课程安排图有环 ，直接返回 False
2. 将当前访问节点 i 对应 flag[i] 置 11，即标记其被本轮 DFS 访问过；
3. 递归访问当前节点 i 的所有邻接节点 j，当发现环直接返回 False
4. 当前节点所有邻接节点已被遍历，并没有发现环，则将当前节点 flag 置为 -1 并返回 True
若整个图 DFS 结束并未发现环，返回 True。

class Solution {
    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        List<List<Integer>> adjacency = new ArrayList<>();
        for(int i = 0; i < numCourses; i++)
            adjacency.add(new ArrayList<>());
        int[] flags = new int[numCourses];
        for(int[] cp : prerequisites)
            adjacency.get(cp[1]).add(cp[0]);
        for(int i = 0; i < numCourses; i++)
            if(!dfs(adjacency, flags, i)) return false;
        return true;
    }
    private boolean dfs(List<List<Integer>> adjacency, int[] flags, int i) {
        if(flags[i] == 1) return false;
        if(flags[i] == -1) return true;
        flags[i] = 1;
        for(Integer j : adjacency.get(i))
            if(!dfs(adjacency, flags, j)) return false;
        flags[i] = -1;
        return true;
    }
}